Упр.28.319 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Дано: $$\tan(\alpha)=5$$, $$\cot(\beta)=\frac{2}{3}$$, $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$, $$0<\beta<\frac{\pi}{2}$$. Докажите, что $$\alpha+\beta=\frac{3\pi}{4}$$.

Так как $$\ctg \beta=\frac{2}{3},$$ то

$$\tg \beta=\frac{1}{\ctg \beta}=\frac{3}{2}.$$

Найдём тангенс суммы:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha \tg \beta} =\frac{5+\frac{3}{2}}{1-5\cdot \frac{3}{2}} =\frac{\frac{13}{2}}{-\frac{13}{2}}=-1.$$

Значит,

$$\alpha+\beta=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Но $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},\quad 0<\beta<\frac{\pi}{2},$$ поэтому

$$0<\alpha+\beta<\pi.$$

Следовательно, подходит только значение

$$\alpha+\beta=\frac{3\pi}{4}.$$

Ответ

$$\alpha+\beta=\frac{3\pi}{4}.$$