Упр.28.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Сколько можно составить неравных между собой правильных дробей, числителями и знаменателями которых являются числа: 1) $$3, 5, 7, 11, 13, 17$$; 2) $$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$$?

1) Для чисел $$3, 5, 7, 11, 13, 17$$ можно составить правильные дроби вида $$\frac{a}{b}$$, где $$a<b$$. Тогда каждая неравная дробь соответствует паре чисел $$a,b$$, выбранной из данных чисел.

Число таких пар равно числу сочетаний из 6 по 2:

$$N=\binom{6}{2}=15.$$

2) Для чисел $$2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$$ аналогично считаем все правильные дроби, то есть пары $$a<b$$.

Число таких пар равно:

$$N=\binom{8}{2}=28.$$

Но среди них некоторые дроби равны между собой, например:

$$\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\quad \frac{2}{6}=\frac{1}{3},\quad \frac{2}{8}=\frac{1}{4},\quad \frac{3}{6}=\frac{1}{2},\quad \frac{3}{9}=\frac{1}{3},\quad \frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$$

После исключения повторяющихся значений остаётся:

$$7+4+3+4+1+2+1=22.$$

Ответ

1) $$15$$; 2) $$22$$.