Упр.28.305 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Постройте график уравнения: 1) $$\sin(x)=0$$; 2) $$y\sin(x)=0$$; 3) $$x^2+\sin^2(x)=0$$; 4) $$|y|=\sin(x)$$; 5) $$y\operatorname{tg}(x)=0$$; 6) $$\operatorname{tg}\bigl(\pi(x^2-y)\bigr)=0$$; 7) $$\operatorname{tg}\bigl(\pi(2|x|+|y|)\bigr)=0$$.

1. $$\sin x=0$$

   Нули синуса: $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Так как уравнение не содержит $$y,$$ его график — совокупность вертикальных прямых

   $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$y\sin x=0$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

   $$y=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$

   Следовательно, график состоит из оси $$Ox$$ и прямых

   $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$x^2+\sin^2 x=0$$

   Оба слагаемых неотрицательны, значит их сумма равна нулю только тогда, когда

   $$x^2=0,\qquad \sin^2 x=0.$$

   Отсюда $$x=0.$$ Тогда $$y$$ может быть любым, поэтому график — ось $$Oy$$:

   $$x=0,\; y\in \mathbb{R}.$$

4. $$|y|=\sin x$$

   Так как левая часть неотрицательна, необходимо $$\sin x\ge 0.$$

   При $$y\ge 0$$ получаем $$y=\sin x,$$ а при $$y<0$$ — $$y=-\sin x.$$

   Значит, график состоит из двух ветвей:

   $$y=\sin x,\quad y=-\sin x,\quad \sin x\ge 0.$$

5. $$y\tg x=0$$

   Произведение равно нулю, если

   $$y=0 \quad \text{или} \quad \tg x=0.$$

   Но функция $$\tg x$$ не определена при

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Следовательно, график — ось $$Ox$$ и прямые

   $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z},$$

   при этом точки, где $$\tg x$$ не определена, не входят в график.

6. $$\tg\bigl(\pi(x^2-y)\bigr)=0$$

   Тогда

   $$\pi(x^2-y)=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Отсюда

   $$x^2-y=n,\qquad y=x^2-n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   График — семейство парабол

   $$y=x^2-n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

7. $$\tg\bigl(\pi(2|x|+|y|)\bigr)=0$$

   Тогда

   $$\pi(2|x|+|y|)=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$2|x|+|y|=n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Так как левая часть неотрицательна, то $$n\ge 0.$$ Поэтому график задаётся уравнениями

   $$2|x|+|y|=n,\; n=0,1,2,\dots$$

   Это семейство ромбов с вершинами на осях координат.

Ответ

1) $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
2) $$y=0$$ или $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
3) $$x=0.$$
4) $$y=\sin x$$ и $$y=-\sin x$$ при $$\sin x\ge 0.$$
5) $$y=0$$ или $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
6) $$y=x^2-n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
7) $$2|x|+|y|=n,\; n=0,1,2,\dots$$