Упр.28.265 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Функция $$g$$ является обратной к функции $$f(x)=x^3+x+12$$. Решите уравнение $$g(x)=x^3+x-12$$.

Так как функция $$g$$ обратна функции $$f(x)=x^3+x+12,$$ то из уравнения

$$g(x)=x^3+x-12$$

применим к обеим частям функцию $$f$$:

$$f(g(x))=f(x^3+x-12).$$

С одной стороны, $$f(g(x))=x,$$ а с другой:

$$x=(x^3+x-12)^3+(x^3+x-12)+12.$$

Тогда

$$x=(x^3+x-12)^3+x^3+x,$$

$$\left(x^3+x-12\right)^3=-x^3,$$

$$x^3+x-12=-x.$$

Получаем

$$x^3+2x-12=0.$$

Разложим на множители:

$$x^3+2x-12=(x-2)(x^2+2x+6).$$

Тогда

$$(x-2)(x^2+2x+6)=0.$$

Квадратное уравнение $$x^2+2x+6=0$$ не имеет действительных корней, так как

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 6=4-24=-20<0.$$

Значит, единственный действительный корень:

$$x=2.$$

Ответ

$$2$$