Упр.28.261 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что функции $$f$$ и $$g$$ являются взаимно обратными: 1) $$f(x)=\frac{1}{x-2},\quad g(x)=\frac{2x+1}{x}$$; 2) $$f(x)=\frac{x}{x+1},\quad g(x)=\frac{x}{1-x}$$.

1) Пусть $$y=f(x)=\frac{1}{x-2}.$$ Тогда выразим $$x$$ через $$y$$:

$$y=\frac{1}{x-2}$$

$$x-2=\frac{1}{y}$$

$$x=2+\frac{1}{y}=\frac{2y+1}{y}.$$

Значит, обратная к функции $$f(x)$$ функция имеет вид

$$f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x}.$$

Но это и есть $$g(x)$$. Следовательно, функции $$f$$ и $$g$$ взаимно обратны.

2) Пусть $$y=f(x)=\frac{x}{x+1}.$$ Тогда выразим $$x$$ через $$y$$:

$$y=\frac{x}{x+1}$$

$$y(x+1)=x$$

$$yx+y=x$$

$$y=x-yx$$

$$y=x(1-y)$$

$$x=\frac{y}{1-y}.$$

Значит, обратная к функции $$f(x)$$ функция имеет вид

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}.$$

Но это и есть $$g(x)$$. Следовательно, функции $$f$$ и $$g$$ взаимно обратны.

Ответ

1) $$f^{-1}(x)=g(x)=\frac{2x+1}{x}$$; 2) $$f^{-1}(x)=g(x)=\frac{x}{1-x}$$.