Упр.28.250 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=\frac{2}{x^2-6x+11}$$.

Рассмотрим функцию

$$y=\frac{2}{x^2-6x+11}.$$

Приведём знаменатель к квадрату двучлена:

$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2.$$

Так как $$(x-3)^2 \ge 0,$$ то

$$x^2-6x+11 \ge 2.$$

Следовательно,

$$y=\frac{2}{x^2-6x+11}\le \frac{2}{2}=1.$$

Равенство достигается при $$x=3$$, значит наибольшее значение функции равно $$1$$.

При $$x \to \pm\infty$$ знаменатель неограниченно возрастает, поэтому

$$y=\frac{2}{x^2-6x+11}\to 0.$$

Но значение $$0$$ функция не принимает, так как числитель равен $$2$$. Значит, наименьшего значения у функции нет.

Ответ

Наибольшее значение: $$1$$; наименьшего значения нет.