Упр.28.244 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Парабола $$y=ax^2+bx+c$$ имеет вершину в точке $$M(1; -1)$$ и проходит через точку $$K(-2; 3)$$. Найдите значения коэффициентов $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$ абсцисса вершины равна

$$x_0=-\frac{b}{2a}.$$

Так как вершина находится в точке $$M(1;-1),$$ то

$$-\frac{b}{2a}=1 \Rightarrow b=-2a.$$

Координаты вершины также удовлетворяют уравнению параболы:

$$a+b+c=-1.$$

Подставим $$b=-2a$$:

$$a-2a+c=-1 \Rightarrow c=a-1.$$

Теперь используем точку $$K(-2;3),$$ через которую проходит парабола:

$$4a-2b+c=3.$$

Подставим $$b=-2a$$ и $$c=a-1$$:

$$4a-2(-2a)+(a-1)=3,$$

$$4a+4a+a-1=3,$$

$$9a=4,$$

$$a=\frac{4}{9}.$$

Тогда

$$b=-2a=-2\cdot\frac{4}{9}=-\frac{8}{9},$$

$$c=a-1=\frac{4}{9}-1=-\frac{5}{9}.$$

Ответ

$$a=\frac{4}{9},\quad b=-\frac{8}{9},\quad c=-\frac{5}{9}.$$