Упр.28.240 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Исследуйте на чётность функцию: $$y=\frac{|2x-1|-|2x+1|}{x^2-4}.$$
2. Исследуйте на чётность функцию: $$y=\frac{x^5}{\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}}.$$
3. Исследуйте на чётность функцию: $$y=\frac{1}{(4x-2)^5}+\frac{1}{(4x+2)^5}.$$
4. Исследуйте на чётность функцию: $$y=\frac{2x+1}{x^2-3x+1}-\frac{2x-1}{x^2+3x+1}.$$

1. $$y=\frac{|2x-1|-|2x+1|}{x^2-4}$$

   Область определения:

   $$x^2-4\ne 0,\quad x\ne \pm 2.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\frac{|2(-x)-1|-|2(-x)+1|}{(-x)^2-4} =\frac{|1+2x|-|1-2x|}{x^2-4} =-\frac{|2x-1|-|2x+1|}{x^2-4} =-y(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

2. $$y=\frac{x^5}{\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}}$$

   Область определения:

   $$2-x\ge 0,\quad 2+x\ge 0,\quad \sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}\ne 0.$$

   Отсюда

   $$-2\le x\le 2,\quad x\ne 0.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\frac{(-x)^5}{\sqrt{2-(-x)}-\sqrt{2+(-x)}} =\frac{-x^5}{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}} =\frac{x^5}{\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}} =y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

3. $$y=\frac{1}{(4x-2)^5}+\frac{1}{(4x+2)^5}$$

   Область определения:

   $$4x-2\ne 0,\quad 4x+2\ne 0,\quad x\ne \frac12,\quad x\ne -\frac12.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\frac{1}{(4(-x)-2)^5}+\frac{1}{(4(-x)+2)^5} =\frac{1}{(-4x-2)^5}+\frac{1}{(-4x+2)^5} =-\frac{1}{(4x+2)^5}-\frac{1}{(4x-2)^5} =-y(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

4. $$y=\frac{2x+1}{x^2-3x+1}-\frac{2x-1}{x^2+3x+1}$$

   Область определения:

   $$x^2-3x+1\ne 0,\quad x^2+3x+1\ne 0.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\frac{2(-x)+1}{(-x)^2-3(-x)+1}-\frac{2(-x)-1}{(-x)^2+3(-x)+1} =\frac{-2x+1}{x^2+3x+1}-\frac{-2x-1}{x^2-3x+1}$$
   $$=\frac{2x+1}{x^2-3x+1}-\frac{2x-1}{x^2+3x+1} =y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

Ответ

1) нечётная; 2) чётная; 3) нечётная; 4) чётная.