Упр.28.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Натуральное число $$n>1$$ не делится нацело ни на $$2$$, ни на $$3$$. Докажите, что число $$n^2-1$$ кратно $$24$$.

Рассмотрим три последовательных числа: $$n-1,\; n,\; n+1.$$

Так как $$n$$ не делится ни на $$2$$, ни на $$3$$, то:

• среди чисел $$n-1,\; n,\; n+1$$ одно обязательно делится на $$3$$;
• так как $$n$$ нечётное, то числа $$n-1$$ и $$n+1$$ чётные, значит одно из них делится на $$4$$.

Следовательно, произведение $$(n-1)(n+1)$$ делится на $$8$$, а также на $$3$$. Значит, оно делится на $$24$$.

Но

$$(n-1)(n+1)=n^2-1.$$

Следовательно, число $$n^2-1$$ кратно $$24$$.

Ответ

$$n^2-1$$ кратно $$24$$.