Упр.28.232 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Изобразите на координатной плоскости $$xy$$ множество решений системы неравенств:

1. $$\begin{cases} y+x-2>0,\\ x-3y<1; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} x^2+y^2<4,\\ y>|x|+1. \end{cases}$$

1. $$\begin{cases} x+y-2>0,\\ x-3y\le 1. \end{cases}$$

   Первое неравенство:

   $$x+y-2>0,\qquad y>2-x.$$

   Второе неравенство:

   $$x-3y\le 1,\qquad 3y\ge x-1,\qquad y\ge \frac{x}{3}-\frac13.$$

   Итак, нужно изобразить пересечение полуплоскостей:

   $$y>2-x \quad \text{и} \quad y\ge \frac{x}{3}-\frac13.$$

   Граница $$y=2-x$$ не входит в решение, а граница $$y=\frac{x}{3}-\frac13$$ входит.

2. $$\begin{cases} x^2+y^2<4,\\ y>|x|+1. \end{cases}$$

   Первое неравенство задаёт внутренность круга:

   $$x^2+y^2<4,\qquad O(0,0),\ R=2.$$

   Второе неравенство:

   $$y>|x|+1,$$

   то есть

   $$\begin{cases} y>x+1, & x\ge 0,\\ y>1-x, & x<0. \end{cases}$$

   Искомое множество — часть круга $$x^2+y^2<4$$, лежащая выше графика $$y=|x|+1$$.

Ответ

1) Пересечение полуплоскостей $$y>2-x$$ и $$y\ge \frac{x}{3}-\frac13$$.

2) Часть круга $$x^2+y^2<4$$, расположенная выше графика $$y=|x|+1$$.