Упр.28.228 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите все пары чисел $$(x; y)$$, удовлетворяющие уравнению:
   1) $$\sqrt{x^2-4x}+\sqrt{y-2}=0$$;
   2) $$\sqrt{x^2-6x+5}+\sqrt{y^2-y-2}=0$$;
   3) $$\sqrt{x+y}+\sqrt{x^2-1}+\sqrt{y^2-1}=0$$.

1) $$\sqrt{x^2-4x}+\sqrt{y-2}=0$$

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, значит каждое из них равно нулю:

$$x^2-4x=0,\qquad y-2=0.$$

$$x(x-4)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=4,$$

$$y=2.$$

Получаем пары:

$$(0;2),\ (4;2).$$

2) $$\sqrt{x^2-6x+5}+\sqrt{y^2-y-2}=0$$

Аналогично, каждое подкоренное выражение должно быть равно нулю:

$$x^2-6x+5=0,\qquad y^2-y-2=0.$$

Решим первое уравнение:

$$D=36-20=16,$$

$$x=\frac{6\pm 4}{2},\quad x=1 \text{ или } x=5.$$

Решим второе уравнение:

$$D=1+8=9,$$

$$y=\frac{1\pm 3}{2},\quad y=-1 \text{ или } y=2.$$

Тогда возможны пары:

$$(1;-1),\ (1;2),\ (5;-1),\ (5;2).$$

3) $$\sqrt{x+y}+\sqrt{x^2-1}+\sqrt{y^2-1}=0$$

Сумма трёх неотрицательных выражений равна нулю, значит

$$x+y=0,\qquad x^2-1=0,\qquad y^2-1=0.$$

Из последних двух уравнений:

$$x=\pm 1,\qquad y=\pm 1.$$

Из условия $$x+y=0$$ подходят только пары:

$$(-1;1),\ (1;-1).$$

Ответ

1) $$(0;2),\ (4;2)$$

2) $$(1;-1),\ (1;2),\ (5;-1),\ (5;2)$$

3) $$(-1;1),\ (1;-1)$$