Упр.28.227 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Постройте график уравнения:
   1) $$(x-1)^2=(x+2y)^2$$;
   5) $$|y+1|+|x-2|=2$$;
   2) $$x|y|=x^2$$;
   6) $$(|x|-1)^2+(|y|-3)^2=4$$;
   3) $$x+2=v|y-1|$$;
   7) $$\frac{(x^2-4)(x+y)}{y^2-1}=0$$;
   4) $$|y|-1=vx$$.

1. $$(x-1)^2=(x+2y)^2$$

   Равенство квадратов даёт два случая:

   $$x-1=x+2y \quad \text{или} \quad x-1=-(x+2y)$$

   $$2y=-1 \Rightarrow y=-\frac12$$

   $$2x+2y=1 \Rightarrow x+y=\frac12 \Rightarrow y=\frac12-x$$

   График — объединение прямых $$y=-\frac12$$ и $$y=\frac12-x$$.

2. $$x|y|=x^2$$

   Рассмотрим случаи по знаку $$y$$:

   если $$y>0$$, то $$x y=x^2$$, откуда либо $$x=0$$, либо $$y=x$$;

   если $$y<0$$, то $$-xy=x^2$$, откуда либо $$x=0$$, либо $$y=-x$$;

   если $$y=0$$, то $$0=x^2$$, значит $$x=0$$.

   Итак, график состоит из лучей $$y=x$$ при $$x\ge 0$$, $$y=-x$$ при $$x\ge 0$$ и точки $$\left(0,0\right)$$.

3. $$x+2=\sqrt{|y-1|}$$

   Так как правая часть неотрицательна, то

   $$x+2\ge 0,\quad x\ge -2.$$

   Возведём в квадрат:

   $$|y-1|=(x+2)^2$$

   Отсюда

   $$y-1=(x+2)^2 \quad \text{или} \quad y-1=-(x+2)^2$$

   $$y=x^2+4x+5 \quad \text{или} \quad y=-x^2-4x-3,\quad x\ge -2$$

4. $$|y|-1=\sqrt{x}$$

   Область определения: $$x\ge 0$$.

   Если $$y\ge 0$$, то

   $$y-1=\sqrt{x}\Rightarrow y=\sqrt{x}+1$$

   Если $$y<0$$, то

   $$-y-1=\sqrt{x}\Rightarrow y=-\sqrt{x}-1$$

   График — две ветви: $$y=\sqrt{x}+1$$ и $$y=-\sqrt{x}-1$$ при $$x\ge 0$$.

5. $$|y+1|+|x-2|=2$$

   Это уравнение задаёт ромб с центром в точке $$\left(2,-1\right)$$.

   Вершины ромба находятся на расстоянии 2 по осям от центра:

   $$\left(2,1\right),\ \left(4,-1\right),\ \left(2,-3\right),\ \left(0,-1\right)$$

6. $$\left(|x|-1\right)^2+\left(|y|-3\right)^2=4$$

   Пусть $$u=|x|$$, $$v=|y|$$. Тогда

   $$(u-1)^2+(v-3)^2=4$$

   Это окружность с центром $$\left(1,3\right)$$ и радиусом $$2$$ в первой четверти, а исходный график получается отражением этой окружности относительно осей координат.

7. $$\frac{(x^2-4)(x+y)}{y^2-1}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$(x^2-4)(x+y)=0,\quad y^2-1\ne 0$$

   Отсюда

   $$x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2$$

   или

   $$x+y=0 \Rightarrow y=-x$$

   При этом нужно исключить точки, где $$y=\pm 1$$.

Ответ

1) $$y=-\frac12$$ или $$y=\frac12-x$$;
2) $$y=x,\ x\ge 0$$; $$y=-x,\ x\ge 0$$; точка $$\left(0,0\right)$$;
3) $$y=x^2+4x+5,\ x\ge -2$$ или $$y=-x^2-4x-3,\ x\ge -2$$;
4) $$y=\sqrt{x}+1,\ x\ge 0$$ или $$y=-\sqrt{x}-1,\ x\ge 0$$;
5) ромб с вершинами $$\left(2,1\right),\ \left(4,-1\right),\ \left(2,-3\right),\ \left(0,-1\right)$$;
6) четыре окружности, получающиеся отражением окружности $$\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=4$$ относительно осей;
7) $$x=\pm 2$$ или $$y=-x$$, при $$y\ne \pm 1$$.