Упр.28.212 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.212. Упростите выражение (v(x+4v(x-4))+v(x-4v(x-4)))/v(1-8/x+16/x^2).

Преобразуем выражение:

$$ \frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}}} $$

Заметим, что

$$ x+4\sqrt{x-4}=4+4\sqrt{x-4}+(x-4)=(2+\sqrt{x-4})^2, $$
$$ x-4\sqrt{x-4}=4-4\sqrt{x-4}+(x-4)=(2-\sqrt{x-4})^2. $$

Тогда числитель равен

$$ \sqrt{(2+\sqrt{x-4})^2}+\sqrt{(2-\sqrt{x-4})^2} =|2+\sqrt{x-4}|+|2-\sqrt{x-4}|. $$

Знаменатель:

$$ \sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}} =\sqrt{\frac{x^2-8x+16}{x^2}} =\frac{|x-4|}{|x|}. $$

Следовательно,

$$ \frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}}} = \frac{|x|\bigl(|2+\sqrt{x-4}|+|2-\sqrt{x-4}|\bigr)}{|x-4|}. $$

Так как $x\ge 4$, то $|2+\sqrt{x-4}|=2+\sqrt{x-4}$. Дальше рассмотрим два случая.

1. Если $4<x<8$, то $2-\sqrt{x-4}>0$, значит

   $$ |2-\sqrt{x-4}|=2-\sqrt{x-4}. $$

   Тогда

   $$ \frac{x\bigl(2+\sqrt{x-4}+2-\sqrt{x-4}\bigr)}{x-4} =\frac{4x}{x-4}. $$

2. Если $x\ge 8$, то $2-\sqrt{x-4}\le 0$, значит

   $$ |2-\sqrt{x-4}|=\sqrt{x-4}-2. $$

   Тогда

   $$ \frac{x\bigl(2+\sqrt{x-4}+\sqrt{x-4}-2\bigr)}{x-4} =\frac{2x\sqrt{x-4}}{x-4} =\frac{2x}{\sqrt{x-4}}. $$

Ответ

$$ \frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{16}{x^2}}} = \begin{cases} \dfrac{4x}{x-4}, & 4<x<8,\\[6pt] \dfrac{2x}{\sqrt{x-4}}, & x\ge 8. \end{cases} $$