Упр.28.211 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.211. Упростите выражение v((a-2v(a-1))/(a+2v(a-1)))+v((a+2v(a-1))/(a-2v(a-1)))-4/v(a^2-4a+4).

Преобразуем выражение:

$$ \sqrt{\frac{a-2\sqrt{a-1}}{a+2\sqrt{a-1}}} +\sqrt{\frac{a+2\sqrt{a-1}}{a-2\sqrt{a-1}}} -\frac{4}{\sqrt{a^2-4a+4}} $$

Заметим, что

$$ a^2-4a+4=(a-2)^2. $$

Тогда

$$ \sqrt{\frac{a-2\sqrt{a-1}}{a+2\sqrt{a-1}}} =\frac{\sqrt{(a-2\sqrt{a-1})^2}}{\sqrt{a^2-4(a-1)}}, $$
$$ \sqrt{\frac{a+2\sqrt{a-1}}{a-2\sqrt{a-1}}} =\frac{\sqrt{(a+2\sqrt{a-1})^2}}{\sqrt{a^2-4(a-1)}}. $$

Сложим первые два слагаемых:

$$ \frac{(a-2\sqrt{a-1})+(a+2\sqrt{a-1})}{\sqrt{a^2-4a+4}} -\frac{4}{\sqrt{(a-2)^2}} = \frac{2a-4}{\sqrt{(a-2)^2}}. $$

Так как $$\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|,$$ получаем

$$ \frac{2a-4}{|a-2|}=\frac{2(a-2)}{|a-2|}. $$

Теперь рассмотрим возможные случаи:

• если $$a>2,$$ то $$|a-2|=a-2,$$ значит
  $$ \frac{2(a-2)}{a-2}=2; $$
• если $$1\le a<2,$$ то $$|a-2|=2-a,$$ значит
  $$ \frac{2(a-2)}{2-a}=-2. $$

Ответ

если $$a>2,$$ то $$2$$; если $$1\le a<2,$$ то $$-2$$.