Упр.28.209 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.209. Упростите выражение (1+(a+v(a^2-1))^2 (b+v(b^2-1)^2)/((a+v(a^2-1))(b+v(b^2-1))).

Преобразуем выражение:

$$ \frac{1+(a+\sqrt{a^2-1})^2(b+\sqrt{b^2-1})^2}{(a+\sqrt{a^2-1})(b+\sqrt{b^2-1})} $$

Представим числитель как сумму двух слагаемых и воспользуемся формулой разности квадратов:

$$ 1=(a-\sqrt{a^2-1})(a+\sqrt{a^2-1})=(b-\sqrt{b^2-1})(b+\sqrt{b^2-1}) $$

Тогда

$$ \frac{1+(a+\sqrt{a^2-1})^2(b+\sqrt{b^2-1})^2}{(a+\sqrt{a^2-1})(b+\sqrt{b^2-1})} $$

$$ = \frac{(a-\sqrt{a^2-1})(b-\sqrt{b^2-1})+(a+\sqrt{a^2-1})(b+\sqrt{b^2-1})}{(a+\sqrt{a^2-1})(b+\sqrt{b^2-1})} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ (a-\sqrt{a^2-1})(b-\sqrt{b^2-1})+(a+\sqrt{a^2-1})(b+\sqrt{b^2-1}) $$

$$ =2ab+2\sqrt{a^2-1}\sqrt{b^2-1}. $$

Знаменатель равен

$$ (a+\sqrt{a^2-1})(b+\sqrt{b^2-1})=1\cdot 1=1. $$

Следовательно,

$$ \frac{2ab+2\sqrt{a^2-1}\sqrt{b^2-1}}{1} =2\left(ab+\sqrt{a^2-1}\sqrt{b^2-1}\right). $$

Ответ

$$2\left(ab+\sqrt{a^2-1}\sqrt{b^2-1}\right)$$