Упр.28.208 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.208. Упростите выражение (a+b)/(va+vb) : ((a+b)/(a-b)-b/(b-v(ab))+a/(v(ab)+a))-v(a+b-2v(ab))/2.
Преобразуем выражение:
$$ \frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right)-\frac{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}}{2}. $$
Заметим, что
$$ a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2, $$
поэтому
$$ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=|\sqrt a-\sqrt b|. $$
Упростим выражение в скобках:
$$ \frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a} = \frac{a+b}{a-b}-\frac{\sqrt b}{\sqrt b-\sqrt a}+\frac{\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt b}. $$
Приведём к общему знаменателю и используем разложение
$$ a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b). $$
После преобразований получаем:
$$ \frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right) = \frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}. $$
Тогда всё выражение равно
$$ \frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}-\frac{|\sqrt a-\sqrt b|}{2} = \frac{\sqrt a-\sqrt b-|\sqrt a-\sqrt b|}{2}. $$
Рассмотрим два случая.
Если $$0<b<a,$$ то $$\sqrt a-\sqrt b>0,$$ значит
$$ |\sqrt a-\sqrt b|=\sqrt a-\sqrt b. $$
Следовательно,
$$ \frac{\sqrt a-\sqrt b-(\sqrt a-\sqrt b)}{2}=0. $$
Если $$0<a<b,$$ то $$\sqrt a-\sqrt b<0,$$ значит
$$ |\sqrt a-\sqrt b|=\sqrt b-\sqrt a. $$
Тогда
$$ \frac{\sqrt a-\sqrt b-(\sqrt b-\sqrt a)}{2}=\sqrt a-\sqrt b. $$
Ответ
если $$0<b<a,$$ то $$0;$$ если $$0<a<b,$$ то $$\sqrt a-\sqrt b.$$
