Упр.28.207 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.207. Упростите выражение (v(b^2-2b+1)/b+bv(b^2-2b+1)+2-2/b)/v(b-2+1/b), если 0 < b < 1.

Подробный ответ

Так как $$0<b<1,$$ то $$b-1<0,$$ значит

$$\sqrt{(b-1)^2}=1-b.$$

Преобразуем выражение:

$$ \frac{\dfrac{\sqrt{b^2-2b+1}}{b}+b\sqrt{b^2-2b+1}+2-\dfrac{2}{b}} {\sqrt{b-2+\dfrac{1}{b}}} = \frac{\dfrac{\sqrt{(b-1)^2}}{b}+b\sqrt{(b-1)^2}+2-\dfrac{2}{b}} {\sqrt{\dfrac{b^2-2b+1}{b}}}. $$

Тогда

$$ \frac{\dfrac{1-b}{b}+b(1-b)+2-\dfrac{2}{b}} {\sqrt{\dfrac{(b-1)^2}{b}}} = \frac{\dfrac{1-b}{b}+b(1-b)+\dfrac{2b-2}{b}} {\dfrac{1-b}{\sqrt{b}}}. $$

Соберём числитель:

$$ \dfrac{1-b}{b}+b(1-b)+\dfrac{2b-2}{b} = \dfrac{1-b+2b-2}{b}+b(1-b) = \dfrac{b-1}{b}+b(1-b). $$

Вынесем общий множитель $$1-b$$:

$$ \dfrac{b-1}{b}+b(1-b) = -(1-b)\left(\dfrac{1}{b}-b\right) = (1-b)\left(b-\dfrac{1}{b}\right). $$

Тогда

$$ \frac{(1-b)\left(b-\dfrac{1}{b}\right)}{\dfrac{1-b}{\sqrt{b}}} = \left(b-\dfrac{1}{b}\right)\sqrt{b} = \frac{b^2-1}{\sqrt{b}}. $$