Упр.28.206 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(\frac{(\sqrt{a^3}-\sqrt{8})(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{a+\sqrt{2a}+2}\right)^2+\sqrt{(a^2+2)^2-8a^2}$$.

$$\left(\frac{(\sqrt{a^3}-\sqrt{8})(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{a+\sqrt{2a}+2}\right)^2+\sqrt{(a^2+2)^2-8a^2}$$

Так как $$\sqrt{a^3}=a\sqrt{a}$$ и $$\sqrt{8}=2\sqrt{2},$$ то

$$\sqrt{a^3}-\sqrt{8}=\sqrt{a}\,a-2\sqrt{2}=(\sqrt{a}-\sqrt{2})(a+\sqrt{2a}+2),$$

поэтому

$$\left(\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{2})(a+\sqrt{2a}+2)(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{a+\sqrt{2a}+2}\right)^2+\sqrt{(a^2+2)^2-8a^2}$$

$$=\left((\sqrt{a}-\sqrt{2})(\sqrt{a}+\sqrt{2})\right)^2+\sqrt{a^4+4a^2+4-8a^2}$$

$$=(a-2)^2+\sqrt{a^4-4a^2+4} =(a-2)^2+\sqrt{(a^2-2)^2}$$

$$=(a-2)^2+|a^2-2|.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$a\ge \sqrt{2},$$ то $$|a^2-2|=a^2-2,$$ и тогда

   $$(a-2)^2+(a^2-2)=a^2-4a+4+a^2-2=2(a-1)^2.$$

2. Если $$0\le a<\sqrt{2},$$ то $$|a^2-2|=2-a^2,$$ и тогда

   $$(a-2)^2+(2-a^2)=a^2-4a+4+2-a^2=6-4a.$$

Ответ

$$\begin{cases} 2(a-1)^2, & a\ge \sqrt{2},\\ 6-4a, & 0\le a<\sqrt{2}. \end{cases}$$