Упр.28.206 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.206. Упростите выражение (((va^3-v8)(va+v2))/(a+v(2a)+2))^2+v((a^2+2)^2-8a^2).
$$ \left(\frac{(\sqrt{a^3}-\sqrt{8})(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{a+\sqrt{2a}+2}\right)^2+\sqrt{(a^2+2)^2-8a^2} $$
Так как $$\sqrt{a^3}=a\sqrt{a}$$ и $$\sqrt{8}=2\sqrt{2},$$ то
$$ \sqrt{a^3}-\sqrt{8}=\sqrt{a}\,a-2\sqrt{2}=(\sqrt{a}-\sqrt{2})(a+\sqrt{2a}+2), $$
поэтому
$$ \left(\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{2})(a+\sqrt{2a}+2)(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{a+\sqrt{2a}+2}\right)^2+\sqrt{(a^2+2)^2-8a^2} $$
$$ =\left((\sqrt{a}-\sqrt{2})(\sqrt{a}+\sqrt{2})\right)^2+\sqrt{a^4+4a^2+4-8a^2} $$
$$ =(a-2)^2+\sqrt{a^4-4a^2+4} =(a-2)^2+\sqrt{(a^2-2)^2} $$
$$ =(a-2)^2+|a^2-2|. $$
Рассмотрим два случая.
Если $$a\ge \sqrt{2},$$ то $$|a^2-2|=a^2-2,$$ и тогда
$$ (a-2)^2+(a^2-2)=a^2-4a+4+a^2-2=2(a-1)^2. $$
Если $$0\le a<\sqrt{2},$$ то $$|a^2-2|=2-a^2,$$ и тогда
$$ (a-2)^2+(2-a^2)=a^2-4a+4+2-a^2=6-4a. $$
Ответ
$$ \begin{cases} 2(a-1)^2, & a\ge \sqrt{2},\\ 6-4a, & 0\le a<\sqrt{2}. \end{cases} $$
