Упр.28.205 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.205. Упростите выражение (v(1+x)/(v(1+x)-v(1-x))+(1-x)/(v(1-x^2)+x-1))·(v(x^(-2)-1)-1/x), если 0 < x < 1.

Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}+x-1}\right)\cdot\left(\sqrt{x^{-2}-1}-\frac1x\right), \quad 0<x<1. $$

Так как $$\sqrt{x^{-2}-1}=\sqrt{\frac{1-x^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$$ при $$0<x<1,$$ то

$$ \sqrt{x^{-2}-1}-\frac1x=\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{x}. $$

Рассмотрим первую скобку. Во второй дроби вынесем минус в знаменателе:

$$ \sqrt{1-x^2}+x-1=\sqrt{1-x^2}-(1-x). $$

Тогда

$$ \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}-(1-x)}. $$

Умножим и разделим вторую дробь на $$\sqrt{1-x^2}+1-x$$:

$$ \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}-(1-x)} = \frac{(1-x)\bigl(\sqrt{1-x^2}+1-x\bigr)}{(1-x^2)-(1-x)^2} = \frac{\sqrt{1-x^2}+1-x}{x}. $$

Аналогично для первой дроби:

$$ \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} = \frac{1+x+\sqrt{1-x^2}}{x}. $$

Складывая, получаем:

$$ \frac{1+x+\sqrt{1-x^2}}{x}+\frac{\sqrt{1-x^2}+1-x}{x} = \frac{2\sqrt{1-x^2}+2}{x} = \frac{2\bigl(\sqrt{1-x^2}+1\bigr)}{x}. $$

Тогда всё выражение равно

$$ \frac{2\bigl(\sqrt{1-x^2}+1\bigr)}{x}\cdot \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{x} = \frac{2\bigl((1-x^2)-1\bigr)}{x^2} = \frac{-2x^2}{x^2} = -2. $$

Проверим вычисление по более короткому преобразованию. Заметим, что

$$ \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} = \frac{1+x+\sqrt{1-x^2}}{x}, \qquad \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}+x-1} = \frac{\sqrt{1-x^2}+1-x}{x}. $$

Тогда сумма в первой скобке:

$$ \frac{1+x+\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x^2}+1-x}{x} = \frac{2\bigl(1+\sqrt{1-x^2}\bigr)}{x}. $$

А вторая скобка:

$$ \sqrt{x^{-2}-1}-\frac1x=\frac{\sqrt{1-x^2}-1}{x}. $$

Следовательно,

$$ \frac{2\bigl(1+\sqrt{1-x^2}\bigr)}{x}\cdot \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{x} = \frac{2\bigl((1-x^2)-1\bigr)}{x^2} = -2. $$

Ответ

$$-2$$