Упр.28.204 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.204. Упростите выражение ((1+v(1-x))/(1-x+v(1-x))+(1-v(1+x))/(1+x-v(1+x))^2 (x^2-1)/2+1.

Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}}+\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}}\right)^2\cdot \frac{x^2-1}{2}+1 $$

Заметим, что
$$ 1-x+\sqrt{1-x}=\sqrt{1-x}\,(\sqrt{1-x}+1), $$
$$ 1+x-\sqrt{1+x}=\sqrt{1+x}\,(\sqrt{1+x}-1). $$
Тогда
$$ \frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}}=\frac{1}{\sqrt{1-x}}, \qquad \frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}}=-\frac{1}{\sqrt{1+x}}. $$
Следовательно,
$$ \left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}}+\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}}\right) = \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\,\sqrt{1+x}}. $$
Возводим в квадрат:
$$ \left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\,\sqrt{1+x}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2}{(1-x)(1+x)}. $$
Раскроем квадрат разности:
$$ (\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2=(1+x)+(1-x)-2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2-2\sqrt{1-x^2}. $$
Тогда
$$ \frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2}{(1-x)(1+x)}\cdot \frac{x^2-1}{2}+1 = \frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}\cdot \frac{x^2-1}{2}+1. $$
Так как $$x^2-1=-(1-x^2),$$ получаем
$$ \frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}\cdot \frac{-(1-x^2)}{2}+1 = -(1-\sqrt{1-x^2})+1 = \sqrt{1-x^2}. $$

Ответ

$$\sqrt{1-x^2}$$