Упр.28.204 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}}+\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}}\right)^2\frac{x^2-1}{2}+1$$.

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}}+\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}}\right)^2\cdot \frac{x^2-1}{2}+1$$

Заметим, что
$$1-x+\sqrt{1-x}=\sqrt{1-x}\,(\sqrt{1-x}+1),$$
$$1+x-\sqrt{1+x}=\sqrt{1+x}\,(\sqrt{1+x}-1).$$
Тогда
$$\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}}=\frac{1}{\sqrt{1-x}}, \qquad \frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}}=-\frac{1}{\sqrt{1+x}}.$$
Следовательно,
$$\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}}+\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+x-\sqrt{1+x}}\right) = \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\,\sqrt{1+x}}.$$
Возводим в квадрат:
$$\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\,\sqrt{1+x}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2}{(1-x)(1+x)}.$$
Раскроем квадрат разности:
$$(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2=(1+x)+(1-x)-2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2-2\sqrt{1-x^2}.$$
Тогда
$$\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2}{(1-x)(1+x)}\cdot \frac{x^2-1}{2}+1 = \frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}\cdot \frac{x^2-1}{2}+1.$$
Так как $$x^2-1=-(1-x^2),$$ получаем
$$\frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}\cdot \frac{-(1-x^2)}{2}+1 = -(1-\sqrt{1-x^2})+1 = \sqrt{1-x^2}.$$

Ответ

$$\sqrt{1-x^2}$$