Упр.28.203 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(\sqrt{a^3-2a^2+a}+\frac{4a\sqrt{a}}{\sqrt{(1-a)^2}}\right):\left(\frac{\sqrt{a^3}}{a-1}-\left(\frac{1-a}{\sqrt{a}}\right)^{-1}\right)$$.

Упростим выражение:

$$\left(\sqrt{a^3-2a^2+a}+\frac{4a\sqrt a}{\sqrt{(1-a)^2}}\right):\left(\frac{a\sqrt a}{a-1}-\left(\frac{1-a}{\sqrt a}\right)^{-1}\right).$$

Так как $$a^3-2a^2+a=a(a-1)^2,$$ то

$$\sqrt{a^3-2a^2+a}=\sqrt a\cdot |a-1|,$$

а также

$$\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|=|a-1|.$$

Тогда числитель первой скобки:

$$\sqrt a\cdot |a-1|+\frac{4a\sqrt a}{|a-1|}=\frac{\sqrt a\bigl((a-1)^2+4a\bigr)}{|a-1|}.$$

В знаменателе:

$$\left(\frac{1-a}{\sqrt a}\right)^{-1}=\frac{\sqrt a}{1-a},$$

поэтому

$$\frac{a\sqrt a}{a-1}-\frac{\sqrt a}{1-a}=\frac{a\sqrt a}{a-1}+\frac{\sqrt a}{a-1}=\frac{\sqrt a(a+1)}{a-1}.$$

Следовательно,

$$\left(\sqrt a\cdot |a-1|+\frac{4a\sqrt a}{|a-1|}\right):\left(\frac{a\sqrt a}{a-1}-\left(\frac{1-a}{\sqrt a}\right)^{-1}\right)$$

$$=\frac{\sqrt a\bigl((a-1)^2+4a\bigr)}{|a-1|}\cdot \frac{a-1}{\sqrt a(a+1)}.$$

Упростим:

$$(a-1)^2+4a=a^2-2a+1+4a=a^2+2a+1=(a+1)^2.$$

Тогда

$$\frac{(a+1)^2(a-1)}{|a-1|(a+1)}=\frac{(a+1)(a-1)}{|a-1|}.$$

Теперь учитываем знак $$a-1$$:

если $$a>1,$$ то $$|a-1|=a-1,$$ и

$$\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}=a+1;$$

если $$0<a<1,$$ то $$|a-1|=1-a,$$ и

$$\frac{(a+1)(a-1)}{1-a}=-a-1.$$

Ответ

$$\begin{cases} a+1, & a>1,\\ -a-1, & 0<a<1. \end{cases}$$