Упр.28.201 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что $$\frac{\sqrt{21+8\sqrt{5}}}{4+\sqrt{5}}\cdot\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2.$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{\sqrt{21+8\sqrt5}}{4+\sqrt5}\cdot \sqrt{9-4\sqrt5}$$

Заметим, что

$$21+8\sqrt5=16+8\sqrt5+5=(4+\sqrt5)^2,$$
$$9-4\sqrt5=5-4\sqrt5+4=(\sqrt5-2)^2.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{(4+\sqrt5)^2}}{4+\sqrt5}\cdot \sqrt{(\sqrt5-2)^2} = \frac{4+\sqrt5}{4+\sqrt5}\cdot (\sqrt5-2).$$

Так как $$4+\sqrt5>0$$, а $$\sqrt5-2>0$$, получаем

$$1\cdot (\sqrt5-2)=\sqrt5-2.$$

Ответ

$$\sqrt5-2$$