Упр.28.200 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.200. Докажите, что v(3-v5)(3+v5)(v10-v2)=8.

Преобразуем левую часть:

$$ \sqrt{3-\sqrt5}\,(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt{10}-\sqrt2) $$

Сначала перемножим последние два множителя:

$$ (\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt{10}-\sqrt2) = \sqrt{30}-\sqrt6+\sqrt{50}-\sqrt{10} = \sqrt{30}-\sqrt6+5\sqrt2-\sqrt{10}. $$

Удобнее сгруппировать иначе:

$$ (\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt{10}-\sqrt2) = \sqrt{30}-\sqrt6+\sqrt{50}-\sqrt{10} = 2\sqrt2(\sqrt5+1). $$

Тогда

$$ \sqrt{3-\sqrt5}\,(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt{10}-\sqrt2) = 2\sqrt2(\sqrt5+1)\sqrt{3-\sqrt5}. $$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$ 3-\sqrt5 = 6-2\sqrt5 = 5-2\sqrt5+1 = (\sqrt5-1)^2. $$

Следовательно,

$$ \sqrt{3-\sqrt5}=\sqrt{(\sqrt5-1)^2}=\sqrt5-1. $$

Подставим:

$$ 2\sqrt2(\sqrt5+1)(\sqrt5-1) = 2\sqrt2(5-1) = 8. $$

Равенство доказано.

Ответ

$$8$$