Упр.28.200 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что $$\sqrt{3-\sqrt{5}}(3+\sqrt{5})(\sqrt{10}-\sqrt{2})=8$$.

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt{3-\sqrt5}\,(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt{10}-\sqrt2)$$

Сначала перемножим последние два множителя:

$$(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt{10}-\sqrt2) = \sqrt{30}-\sqrt6+\sqrt{50}-\sqrt{10} = \sqrt{30}-\sqrt6+5\sqrt2-\sqrt{10}.$$

Удобнее сгруппировать иначе:

$$(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt{10}-\sqrt2) = \sqrt{30}-\sqrt6+\sqrt{50}-\sqrt{10} = 2\sqrt2(\sqrt5+1).$$

Тогда

$$\sqrt{3-\sqrt5}\,(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt{10}-\sqrt2) = 2\sqrt2(\sqrt5+1)\sqrt{3-\sqrt5}.$$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$3-\sqrt5 = 6-2\sqrt5 = 5-2\sqrt5+1 = (\sqrt5-1)^2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{3-\sqrt5}=\sqrt{(\sqrt5-1)^2}=\sqrt5-1.$$

Подставим:

$$2\sqrt2(\sqrt5+1)(\sqrt5-1) = 2\sqrt2(5-1) = 8.$$

Равенство доказано.

Ответ

$$8$$