Упр.28.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения $$\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}$$ является натуральным числом.

Преобразуем выражение:

$$\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{2n+3n^2+n^3}{6}=\frac{n(2+3n+n^2)}{6}.$$

Сгруппируем множители:

$$\frac{n(2+3n+n^2)}{6}=\frac{n(n^2+3n+2)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.$$

Среди трёх последовательных натуральных чисел $$n,\; n+1,\; n+2$$ одно обязательно делится на $$3$$, а одно — на $$2$$. Значит, их произведение делится на $$6$$.

Следовательно,

$$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\in N.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\in N.$$