Упр.28.199 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что $$(4+\sqrt{15})(\sqrt{10}-\sqrt{6})\sqrt{4-\sqrt{15}}=2.$$

Преобразуем левую часть:

$$(4+\sqrt{15})(\sqrt{10}-\sqrt{6})\sqrt{4-\sqrt{15}}$$
$$=(4\sqrt{10}-4\sqrt{6}+\sqrt{150}-\sqrt{90})\sqrt{4-\sqrt{15}}$$
$$=(4\sqrt{10}-4\sqrt{6}+5\sqrt{6}-3\sqrt{10})\sqrt{4-\sqrt{15}}$$
$$=(\sqrt{10}+\sqrt{6})\sqrt{4-\sqrt{15}}$$
$$=\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})\sqrt{4-\sqrt{15}}$$

Заметим, что

$$4-\sqrt{15}=5-2\sqrt{15}+3=(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2.$$

Тогда

$$\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})\sqrt{4-\sqrt{15}} =\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$$
$$=\sqrt{2}(5-3)=2.$$

Равенство доказано.

Ответ

$$2$$