Упр.28.198 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.198. Найдите значение выражения v(6+2v(5-v(13+v48))).

Подробный ответ

Преобразуем выражение по шагам:

$$ \sqrt{6+2\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}} $$
$$ =\sqrt{6+2\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt3}}} $$
так как $$\sqrt{48}=4\sqrt3.$$

Далее:
$$ 13+4\sqrt3=(2\sqrt3+1)^2, $$
значит
$$ \sqrt{13+4\sqrt3}=2\sqrt3+1. $$
Тогда
$$ \sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt3}}=\sqrt{5-(2\sqrt3+1)}=\sqrt{4-2\sqrt3}. $$

Представим подкоренное выражение в виде квадрата:
$$ 4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2. $$
Следовательно,
$$ \sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt3-1. $$
Теперь получаем:
$$ \sqrt{6+2(\sqrt3-1)}=\sqrt{6+2\sqrt3-2}=\sqrt{4+2\sqrt3}. $$

Заметим, что
$$ 4+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2. $$
Тогда
$$ \sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt3+1. $$