Упр.28.196 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.196. Найдите значение выражения v2/v(2v2+3)-v(6-4v2)/(2v2-3).

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\sqrt{2}+3}}-\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}-3} $$

Заметим, что

$$ 2\sqrt{2}+3=(\sqrt{2}+1)^2, $$
$$ 6-4\sqrt{2}=4-4\sqrt{2}+2=(2-\sqrt{2})^2. $$

Тогда

$$ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\sqrt{2}+3}}-\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}-3} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}}-\frac{\sqrt{(2-\sqrt{2})^2}}{2\sqrt{2}-3}. $$

Так как $$\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1$$ и $$\sqrt{(2-\sqrt{2})^2}=2-\sqrt{2},$$ получаем:

$$ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}-\frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-3}. $$

Приведём к общему виду:

$$ \frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2}-3)-(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-3)}. $$

Вычислим числитель:

$$ \sqrt{2}(2\sqrt{2}-3)=4-3\sqrt{2}, $$
$$ (2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)=2\sqrt{2}+2-2-\sqrt{2}= \sqrt{2}. $$

Тогда

$$ 4-3\sqrt{2}-\sqrt{2}=4-4\sqrt{2}=4(1-\sqrt{2}). $$

Знаменатель:

$$ (\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-3)=2\sqrt{2}-3+2-3\sqrt{2}=-(\sqrt{2}+1). $$

Удобнее заметить, что после сокращений выражение принимает значение

$$ \frac{4(1-\sqrt{2})}{1-\sqrt{2}}=4. $$