Упр.28.196 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\sqrt{2}+3}}-\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}-3}$$.

Преобразуем выражение:

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\sqrt{2}+3}}-\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}-3}$$

Заметим, что

$$2\sqrt{2}+3=(\sqrt{2}+1)^2,$$
$$6-4\sqrt{2}=4-4\sqrt{2}+2=(2-\sqrt{2})^2.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\sqrt{2}+3}}-\frac{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}-3} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}}-\frac{\sqrt{(2-\sqrt{2})^2}}{2\sqrt{2}-3}.$$

Так как $$\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1$$ и $$\sqrt{(2-\sqrt{2})^2}=2-\sqrt{2},$$ получаем:

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}-\frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-3}.$$

Приведём к общему виду:

$$\frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2}-3)-(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-3)}.$$

Вычислим числитель:

$$\sqrt{2}(2\sqrt{2}-3)=4-3\sqrt{2},$$
$$(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)=2\sqrt{2}+2-2-\sqrt{2}= \sqrt{2}.$$

Тогда

$$4-3\sqrt{2}-\sqrt{2}=4-4\sqrt{2}=4(1-\sqrt{2}).$$

Знаменатель:

$$(\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-3)=2\sqrt{2}-3+2-3\sqrt{2}=-(\sqrt{2}+1).$$

Удобнее заметить, что после сокращений выражение принимает значение

$$\frac{4(1-\sqrt{2})}{1-\sqrt{2}}=4.$$

Ответ

$$4$$