Упр.28.194 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (ava+bvb)/((va+vb)(a-b))+2vb/(va+vb)-v(ab)/(a-b);
2) a : ((va+vb)/(2bva))+b : ((va+vb)/(2avb));
3) ((1+vx)/v(1+x)-v(1+x)/(1+vx))^2-((1-vx)/v(1+x)-v(1+x)/(1-vx))^2;
4) ((x+y)/(vx-vy)-(x-y)/(vx+vy))/((vx-vy)/(x+y)+(vx+vy)/(x-y))·(y-v(xy)+x)/(2v(xy)).

Подробный ответ

$$\frac{a\sqrt a+b\sqrt b}{(\sqrt a+\sqrt b)(a-b)}+\frac{2\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}-\frac{\sqrt{ab}}{a-b}$$
Приведём к общему знаменателю $$ (\sqrt a+\sqrt b)(a-b) $$:
$$ \frac{a\sqrt a+b\sqrt b}{(\sqrt a+\sqrt b)(a-b)} +\frac{2\sqrt b(a-b)}{(\sqrt a+\sqrt b)(a-b)} -\frac{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)}{(\sqrt a+\sqrt b)(a-b)} $$
$$ =\frac{a\sqrt a+b\sqrt b+2a\sqrt b-2b\sqrt b-a\sqrt{ab}-b\sqrt{ab}}{(\sqrt a+\sqrt b)(a-b)} $$
Так как $$a\sqrt a=a\cdot\sqrt a$$, $$b\sqrt b=b\cdot\sqrt b$$, $$\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$$, то числитель упрощается:
$$ =\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2(\sqrt a+\sqrt b)}{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}=1 $$
$$ a:\frac{\sqrt a+\sqrt b}{2b\sqrt a}+b:\frac{\sqrt a+\sqrt b}{2a\sqrt b} $$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$$ a\cdot\frac{2b\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt b}+b\cdot\frac{2a\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b} $$
$$ =\frac{2ab\sqrt a+2ab\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b} =\frac{2ab(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a+\sqrt b}=2ab $$
$$ \left(\frac{1+\sqrt x}{\sqrt{1+x}}-\frac{\sqrt{1+x}}{1+\sqrt x}\right)^2 -\left(\frac{1-\sqrt x}{\sqrt{1+x}}-\frac{\sqrt{1+x}}{1-\sqrt x}\right)^2 $$
Преобразуем каждую скобку:
$$ \frac{(1+\sqrt x)^2-(1+x)}{\sqrt{1+x}(1+\sqrt x)} =\frac{2\sqrt x}{\sqrt{1+x}(1+\sqrt x)} $$
$$ \frac{(1-\sqrt x)^2-(1+x)}{\sqrt{1+x}(1-\sqrt x)} =\frac{-2\sqrt x}{\sqrt{1+x}(1-\sqrt x)} $$
Тогда
$$ \frac{4x}{(1+x)(1+\sqrt x)^2}-\frac{4x}{(1+x)(1-\sqrt x)^2} $$
$$ =\frac{4x}{1+x}\left(\frac{1}{(1+\sqrt x)^2}-\frac{1}{(1-\sqrt x)^2}\right) $$
$$ =\frac{4x}{1+x}\cdot \frac{(1-\sqrt x)^2-(1+\sqrt x)^2}{(1+\sqrt x)^2(1-\sqrt x)^2} $$
$$ =\frac{4x}{1+x}\cdot\frac{-4\sqrt x}{(1-x)^2} =\frac{16x\sqrt x}{(1-x^2)(x-1)} $$
$$ \left( \frac{\frac{x+y}{\sqrt x-\sqrt y}-\frac{x-y}{\sqrt x+\sqrt y}} {\frac{\sqrt x-\sqrt y}{x+y}+\frac{\sqrt x+\sqrt y}{x-y}} \right)\cdot \frac{y-\sqrt{xy}+x}{2\sqrt{xy}} $$
Приведём дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю:
$$ \frac{(x+y)(\sqrt x+\sqrt y)-(x-y)(\sqrt x-\sqrt y)} {(x-y)(\sqrt x-\sqrt y)+(\sqrt x+\sqrt y)(x+y)} \cdot \frac{y-\sqrt{xy}+x}{2\sqrt{xy}} $$
После раскрытия скобок получаем:
$$ \frac{2y\sqrt x+2x\sqrt y}{2x\sqrt x+2y\sqrt y} \cdot \frac{x+y-\sqrt{xy}}{2\sqrt{xy}} = \frac{(x+y)(\sqrt x+\sqrt y)}{2(\sqrt x+\sqrt y)(x-\sqrt{xy}+y)} \cdot \frac{x+y-\sqrt{xy}}{2\sqrt{xy}} $$
В итоге:
$$ \frac{x+y}{2} $$