Упр.28.189 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Найдите значение выражения:

1) $$\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{2+\sqrt{3}}$$;

2) $$\frac{12}{5-\sqrt{13}}+\frac{4}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}-\frac{1}{\sqrt{17}-4}$$;

3) $$\frac{1}{\sqrt{5}+1}+\frac{1}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{13}+3}+\ldots+\frac{1}{5+\sqrt{21}}$$.

Подробный ответ

1) Преобразуем каждую дробь, рационализируя знаменатель:

$$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1, \quad \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}, \quad \frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}.$$

Тогда
$$\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{2+\sqrt{3}} =(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})=3.$$

2) Аналогично:

$$\frac{12}{5-\sqrt{13}}=\frac{12(5+\sqrt{13})}{25-13}=5+\sqrt{13},$$
$$\frac{4}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}=\frac{4(\sqrt{17}-\sqrt{13})}{17-13}=\sqrt{17}-\sqrt{13},$$
$$\frac{1}{\sqrt{17}-4}=\frac{\sqrt{17}+4}{17-16}=\sqrt{17}+4.$$

Следовательно,
$$\frac{12}{5-\sqrt{13}}+\frac{4}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}-\frac{1}{\sqrt{17}-4} =(5+\sqrt{13})+(\sqrt{17}-\sqrt{13})-(\sqrt{17}+4)=1.$$

3) Преобразуем каждый член суммы:

$$\frac{1}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}, \quad \frac{1}{3+\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}}{9-5}=\frac{3-\sqrt{5}}{4},$$
$$\frac{1}{\sqrt{13}+3}=\frac{\sqrt{13}-3}{13-9}=\frac{\sqrt{13}-3}{4}, \quad \ldots \quad \frac{1}{5+\sqrt{21}}=\frac{5-\sqrt{21}}{25-21}=\frac{5-\sqrt{21}}{4}.$$

Тогда сумма равна
$$\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{3-\sqrt{5}}{4}+\frac{\sqrt{13}-3}{4}+\cdots+\frac{5-\sqrt{21}}{4}.$$
Внутри суммы происходит сокращение, и остаётся
$$\frac{-1+5}{4}=1.$$