Упр.28.185 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Найдите значение выражения:

$$\left(\frac{7^{-\frac{1}{3}}\cdot 5^{-\frac{1}{3}}}{35^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{-\frac{4}{3}}}\right)^{-1,5}$$;
$$\frac{25^{\frac{4}{3}}\cdot 216^{\frac{1}{9}}}{\left(5^{-\frac{1}{3}}\cdot 36^{\frac{2}{3}}\right)^{-1}}\cdot\left(\frac{150^{-\frac{5}{4}}}{6^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{1}{2}}}\right)^{-\frac{2}{3}}$$.

Подробный ответ

1) Преобразуем степени к общему основанию:

$$\left(\frac{7^{-1/3}\cdot 5^{-1/3}}{35^{1/3}\cdot 3^{-4/3}}\right)^{-1,5} = \left(\frac{7^{-1/3}\cdot 5^{-1/3}}{7^{1/3}\cdot 5^{1/3}\cdot 3^{-4/3}}\right)^{-3/2}$$

$$= \left(7^{-2/3}\cdot 5^{-2/3}\cdot 3^{4/3}\right)^{-3/2} = 7^1\cdot 5^1\cdot 3^{-2} = 35\cdot \frac{1}{9} = \frac{35}{9}.$$

2) Аналогично упрощаем второе выражение:

$$\left(\frac{25^{4/3}\cdot 216^{1/9}}{5^{-1/3}\cdot 36^{2/3}}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{150^{-5/4}}{6^{1/4}\cdot 5^{1/2}}\right)^{-2/3}$$

$$= \left(\frac{5^{8/3}\cdot 6^{2/3}}{5^{-1/3}\cdot 6^{4/3}}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{5^{-5/4}\cdot 6^{-5/4}}{6^{1/4}\cdot 5^{1/2}}\right)^{-2/3}$$

$$= \left(5^3\cdot 6^{-2/3}\right)^{-1} \cdot \left(5^{-7/4}\cdot 6^{-3/2}\right)^{-2/3} = 5^{-3}\cdot 6^{2/3}\cdot 5^{7/6}\cdot 6^1.$$

Соберём степени:

$$5^{-3+7/6}\cdot 6^{2/3+1} = 5^{-11/6}\cdot 6^{5/3}.$$

Удобнее представить результат в виде десятичной дроби:

$$5^{-11/6}\cdot 6^{5/3}=\frac{36}{5}=7{,}2.$$