Упр.28.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.18. Существует ли такое трёхзначное число (abc), что значение выражения (abc)+(bca)+(cab) является квадратом натурального числа?

Подробный ответ

Пусть трёхзначное число $$\overline{abc}=100a+10b+c,$$ тогда

$$ \overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab} =(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b) $$
$$ =111a+111b+111c=111(a+b+c). $$

Число $$111=3\cdot 37,$$ значит, выражение делится на $$3$$ и на $$37.$$

Чтобы сумма была квадратом натурального числа, квадрат должен делиться на $$3\cdot 37.$$ Тогда число под корнем должно делиться и на $$3,$$ и на $$37,$$ то есть на $$111.$$ Следовательно, квадрат имеет вид $$111^2k^2,$$ а само выражение должно быть не меньше $$111^2=12321.$$

Но для цифр $$a,b,c$$ имеем

$$ 1\le a\le 9,\quad 0\le b,c\le 9, $$
$$ a+b+c\le 9+9+9=27. $$

Значит,

$$ \overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=111(a+b+c)\le 111\cdot 27=2997, $$

а это меньше $$111^2=12321.$$ Следовательно, квадратом натурального числа такое выражение быть не может.