Упр.28.176 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$x^2+ax-7a<0$$ выполняется для всех $$x$$ из промежутка $$(1; 2)$$?

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+ax-7a.$$

Чтобы неравенство $$x^2+ax-7a<0$$ выполнялось для всех $$x\in(1;2),$$ парабола должна быть направлена вверх, а на концах промежутка значения функции должны быть не положительными:

$$D=a^2+28a=a(a+28)>0,$$

$$f(1)=1+a-7a=1-6a\le 0,$$

$$f(2)=4+2a-7a=4-5a\le 0.$$

Из первого неравенства получаем:

$$1-6a\le 0 \;\Rightarrow\; a\ge \frac16.$$

Из второго:

$$4-5a\le 0 \;\Rightarrow\; a\ge \frac45.$$

Теперь учтём условие

$$a(a+28)>0.$$

Это выполняется при $$a<-28$$ или $$a>0.$$

С учётом условий $$a\ge \frac16$$ и $$a\ge \frac45$$ получаем:

$$a\ge \frac45.$$

При таких значениях параметра неравенство выполняется для всех $$x\in(1;2).$$

Ответ

$$a\in\left[\frac45;+\infty\right).$$