Упр.28.173 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$ корни $$x_1$$ и $$x_2$$ уравнения $$2x^2-2(2a+1)x+a(a+1)=0$$ удовлетворяют условию $$x_1

Подробный ответ

Рассмотрим квадратное уравнение

$$2x^2-2(2a+1)x+a(a+1)=0.$$

Чтобы его корни удовлетворяли условию $$x_1<a<x_2,$$ достаточно, чтобы значение квадратного трёхчлена при $$x=a$$ было отрицательным, а корни были действительными.

Найдём дискриминант:

$$D=[-2(2a+1)]^2-4\cdot 2\cdot a(a+1) =4(2a+1)^2-8a(a+1) =4(2a^2+2a+1).$$

Так как

$$2a^2+2a+1=2\left(a+\frac12\right)^2+\frac12>0,$$

то $$D>0$$ при любых значениях $$a$$, значит, уравнение всегда имеет два действительных корня.

Теперь вычислим значение левой части при $$x=a$$:

$$f(a)=2a^2-2(2a+1)a+a(a+1) =2a^2-4a^2-2a+a^2+a =-a^2-a =-a(a+1).$$

Условие $$x_1<a<x_2$$ для квадратного трёхчлена с положительным старшим коэффициентом эквивалентно неравенству

$$f(a)<0.$$

Следовательно,

$$-a(a+1)<0 \quad \Longleftrightarrow \quad a(a+1)>0.$$

Отсюда