Упр.28.172 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ один из корней уравнения $$3ax^2-2x-3a-2=0$$ больше 1, а другой меньше 1?

Рассмотрим уравнение

$$3ax^2-2x-3a-2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-2)^2-4\cdot 3a\cdot(-3a-2)=4+36a^2+24a=4(9a^2+6a+1)=4(3a+1)^2.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 2(3a+1)}{6a}.$$

Получаем

$$x_1=\frac{2-2(3a+1)}{6a}=\frac{-6a}{6a}=-1,$$

$$x_2=\frac{2+2(3a+1)}{6a}=\frac{4+6a}{6a}=\frac{2+3a}{3a}.$$

По условию один корень должен быть больше $$1$$, а другой меньше $$1$$. Так как $$x_1=-1<1$$, нужно, чтобы

$$x_2>1.$$

Решим неравенство:

$$\frac{2+3a}{3a}>1,$$

$$\frac{2+3a-3a}{3a}>0,$$

$$\frac{2}{3a}>0.$$

Так как числитель положителен, то

$$a>0.$$

Ответ

$$a\in(0;+\infty).$$