Упр.28.171 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$\left(a-3\right)x^2-2ax+3a-6>0$$ выполняется при всех значениях $$x$$?

Рассмотрим неравенство

$$(a-3)x^2-2ax+3a-6>0.$$

Чтобы оно выполнялось при всех значениях $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть строго положительным для любых $$x$$. Это возможно в двух случаях:

1. коэффициент при $$x^2$$ положителен и дискриминант отрицателен;
2. квадратный трёхчлен вырождается в линейный, но тогда он не может быть положительным при всех $$x$$.

Значит, рассматриваем только случай

$$a-3>0,$$

то есть $$a>3$$.

Найдём дискриминант:

$$D=(-2a)^2-4(a-3)(3a-6)$$

$$D=4a^2-4(3a^2-15a+18)$$

$$D=-4(2a^2-15a+18).$$

Для выполнения неравенства при всех $$x$$ нужно, чтобы

$$D<0,$$

то есть

$$2a^2-15a+18>0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$2a^2-15a+18=(2a-3)(a-6).$$

Тогда

$$(2a-3)(a-6)>0,$$

откуда

$$a<\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad a>6.$$

С учётом условия $$a>3$$ получаем

$$a>6.$$

При $$a=3$$ выражение становится линейным:

$$-6x+3>0,$$

что не выполняется при всех $$x$$, поэтому этот случай не подходит.

Ответ

$$a\in(6;+\infty).$$