Упр.28.170 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$ неравенство $$(a^2-1)x^2+2(a-1)x+2>0$$ выполняется для любого значения $$x$$?

Подробный ответ

Рассмотрим квадратный трёхчлен по переменной $$x$$:

$$f(x)=(a^2-1)x^2+2(a-1)x+2.$$

Чтобы неравенство $$f(x)>0$$ выполнялось при любом $$x$$, достаточно и необходимо, чтобы:

коэффициент при $$x^2$$ был положительным;
дискриминант был отрицательным.

Найдём дискриминант:

$$D=[2(a-1)]^2-4(a^2-1)\cdot 2$$

$$D=4(a-1)^2-8(a^2-1)$$

$$D=4(a^2-2a+1)-8a^2+8$$

$$D=-4(a^2+2a-3).$$

Требуем:

$$a^2-1>0,$$

$$D<0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; -4(a^2+2a-3)<0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; a^2+2a-3>0.$$

Решим неравенство:

$$a^2+2a-3=(a+3)(a-1)>0.$$

Отсюда

$$a<-3 \quad \text{или} \quad a>1.$$

Проверим условие $$a^2-1>0$$: оно даёт $$a<-1$$ или $$a>1$$, что не сужает полученный результат.

Если $$a=\pm 1$$, то выражение становится линейным или постоянным, но при $$a=1$$ получаем $$2>0$$ для всех $$x$$, а при $$a=-1$$ имеем $$-4x+2>0$$, что не выполняется при всех $$x$$. Значит, $$a=-1$$ не подходит, а $$a=1$$ подходит.

Итак, искомые значения параметра:

$$a<-3 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$