Упр.28.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Существует ли такое трёхзначное число $$(abc)$$, что значение выражения $$(abc)-(cba)$$ является квадратом натурального числа?

Пусть трёхзначное число имеет вид $$\overline{abc}=100a+10b+c,$$ а число, записанное в обратном порядке, — $$\overline{cba}=100c+10b+a.$$

Тогда

$$\overline{abc}-\overline{cba}=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c).$$

Значит, искомое значение всегда делится на $$99=9\cdot 11.$$ Если это число является квадратом натурального числа, то оно должно делиться на $$9$$ и на $$11.$$

Из делимости на $$9$$ следует, что квадрат должен быть кратен $$9,$$ а из делимости на $$11$$ — кратен $$11.$$ Но квадрат натурального числа, кратный $$11,$$ должен делиться на $$11^2,$$ поэтому число вида $$99(a-c)$$ не может быть квадратом натурального числа.

Следовательно, такого трёхзначного числа не существует.

Ответ

Не существует.