Упр.28.169 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.169. При каких значениях параметра а неравенство (a+4)x^2-2ax+2a-6 < 0 выполняется при всех значениях х?

Рассмотрим неравенство как квадратное относительно $$x$$:

$$ (a+4)x^2-2ax+2a-6<0. $$

Чтобы оно выполнялось при всех значениях $$x$$, парабола должна быть направлена вниз и не иметь действительных корней, то есть:

$$ a+4<0,\qquad D<0. $$

Найдём дискриминант:

$$ D=(-2a)^2-4(a+4)(2a-6) $$

$$ D=4a^2-4(2a^2+2a-24) $$

$$ D=-4(a^2+2a-24). $$

Тогда

$$ -4(a^2+2a-24)<0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; a^2+2a-24>0. $$

Решим квадратное неравенство:

$$ a^2+2a-24=(a+6)(a-4). $$

Следовательно,

$$ (a+6)(a-4)>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; a<-6 \text{ или } a>4. $$

С учётом условия $$a+4<0$$ получаем:

$$ a<-4. $$

Пересечение условий:

$$ a<-6. $$

Ответ

$$ (-\infty;\,-6) $$