Упр.28.168 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.168. При каких значениях параметра а уравнение (a+4)x^2+(a+4)x+3=0 имеет корни?

Рассмотрим уравнение

$$ (a+4)x^2+(a+4)x+3=0. $$

Чтобы уравнение имело корни, нужно рассмотреть два случая.

1) Уравнение квадратное. Тогда $$a+4\ne 0.$$

Найдём дискриминант:

$$ D=(a+4)^2-4(a+4)\cdot 3 =(a+4)(a+4-12) =(a+4)(a-8). $$

Для существования действительных корней нужно:

$$ D\ge 0 \;\Rightarrow\; (a+4)(a-8)\ge 0. $$

Отсюда

$$ a\le -4 \quad \text{или} \quad a\ge 8. $$

2) Уравнение становится линейным. Это происходит при

$$a+4=0 \Rightarrow a=-4.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$3=0,$$

что невозможно, значит корней нет.

Следовательно, значение $$a=-4$$ не подходит, а при остальных значениях из найденных промежутков корни есть.

Ответ

$$(-\infty;\,-4)\cup[8;\,+\infty).$$