Упр.28.152 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.152. Докажите неравенство (1+a+a^2+a^3)^2 < 4(1+a^2+a^4+a^6).

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ (1+a+a^2+a^3)^2-4(1+a^2+a^4+a^6). $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ (1+a+a^2+a^3)^2=(1+a)^2(1+a^2)^2, $$

поэтому

$$ (1+a+a^2+a^3)^2-4(1+a^2+a^4+a^6) =(1+a)^2(1+a^2)^2-4(1+a^2)(1+a^4). $$

Вынесем общий множитель:

$$ (1+a^2)\bigl((1+a)^2(1+a^2)-4(1+a^4)\bigr). $$

Раскроем скобки:

$$ (1+a)^2(1+a^2)-4(1+a^4) =(1+2a+a^2)(1+a^2)-4-4a^4 $$

$$ =1+2a+2a^2+2a^3+a^4-4-4a^4 =-3a^4+2a^3+2a^2+2a-3. $$

Разложим многочлен на множители:

$$ -3a^4+2a^3+2a^2+2a-3 =(a-1)^2(-3a^2-4a-3). $$

Тогда

$$ (1+a+a^2+a^3)^2-4(1+a^2+a^4+a^6) =(1+a^2)(a-1)^2(-3a^2-4a-3). $$

Так как

$$ 1+a^2>0,\qquad (a-1)^2\ge 0,\qquad -3a^2-4a-3<0 $$

при любом действительном $a$, то

$$ (1+a^2)(a-1)^2(-3a^2-4a-3)\le 0. $$

Следовательно,

$$ (1+a+a^2+a^3)^2\le 4(1+a^2+a^4+a^6). $$

Причём равенство возможно только при $a=1$.

Ответ

$$ (1+a+a^2+a^3)^2\le 4(1+a^2+a^4+a^6), $$
равенство при $a=1$.