Упр.28.150 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что $$m>0$$, $$x>0$$, $$y>0$$, то $$mx+\frac{y}{4m}>\sqrt{xy}$$.

Так как $$m>0,\ x>0,\ y>0,$$ умножим неравенство на положительное число $$4m$$:

$$4m\left(mx+\frac{y}{4m}\right)\ge 4m\sqrt{xy}$$

Получаем:

$$4m^2x+y\ge 4m\sqrt{xy}.$$

Перенесём всё в одну часть и представим левую часть в виде квадрата:

$$4m^2x-4m\sqrt{xy}+y\ge 0$$

$$\left(2m\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge 0.$$

Это верно при любых допустимых значениях переменных, так как квадрат числа неотрицателен.

Ответ

$$mx+\frac{y}{4m}\ge \sqrt{xy}.$$