Упр.28.148 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Сколько решений в зависимости от значения $$a$$ имеет система уравнений:

1) $$\begin{cases}x^2+y^2=a,\\ |x|=2;\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}x^2+y^2=9,\\ y=a+|x|;\end{cases}$$

3) $$\begin{cases}x^2+y^2=a^2,\\ xy=8.\end{cases}$$

1. $$\begin{cases} x^2+y^2=a,\\ |x|=2 \end{cases}$$

   Из условия $$|x|=2$$ получаем $$x^2=4$$. Тогда

   $$4+y^2=a,\qquad y^2=a-4.$$

   Решения существуют только при $$a-4\ge 0$$, то есть при $$a\ge 4$$.

   Если $$a>4$$, то уравнение $$y^2=a-4$$ имеет два корня, а так как $$x=\pm 2$$, получаем 4 решения.

   Если $$a=4$$, то $$y=0$$, и решений 2.

   Если $$a<4$$, решений нет.

2. $$\begin{cases} x^2+y^2=9,\\ y=a+|x| \end{cases}$$

   Подставим $$y=a+|x|$$ в первое уравнение:

   $$x^2+(a+|x|)^2=9.$$

   Обозначим $$t=|x|\ge 0$$. Тогда $$x^2=t^2$$, и получаем

   $$t^2+(a+t)^2=9,$$

   $$2t^2+2at+(a^2-9)=0.$$

   Это квадратное уравнение относительно $$t$$. Для существования решений нужно, чтобы его дискриминант был неотрицателен:

   $$D=(2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-9)=72-4a^2\ge 0.$$

   $$a^2\le 18,\qquad -3\sqrt2\le a\le 3\sqrt2.$$

   По графическому анализу числа решений меняются так:

   при $$-3\sqrt2<a<-3$$ — 4 решения;

   при $$a=-3$$ — 3 решения;

   при $$-3\sqrt2=a$$ и $$-3<a<3$$ — 2 решения;

   при $$a=3$$ — 1 решение;

   при $$a<-3\sqrt2$$ или $$a>3$$ — решений нет.

3. $$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ xy=8 \end{cases}$$

   Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$y=\frac{8}{x},\qquad x\ne 0.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$x^2+\left(\frac{8}{x}\right)^2=a^2.$$

   Умножим на $$x^2$$:

   $$x^4-a^2x^2+64=0.$$

   Положим $$u=x^2$$. Тогда

   $$u^2-a^2u+64=0.$$

   Чтобы были действительные решения, дискриминант должен быть неотрицателен:

   $$D=a^4-256\ge 0.$$

   $$(a^2-16)(a^2+16)\ge 0.$$

   Так как $$a^2+16>0$$, получаем

   $$a^2-16\ge 0,\qquad |a|\ge 4.$$

   При $$|a|>4$$ система имеет 4 решения, при $$|a|=4$$ — 2 решения, при $$|a|<4$$ решений нет.

Ответ

1) 4 решения при $$a>4$$; 2 решения при $$a=4$$; решений нет при $$a<4$$.

2) 4 решения при $$-3\sqrt2<a<-3$$; 3 решения при $$a=-3$$; 2 решения при $$a=-3\sqrt2$$ и $$-3<a<3$$; 1 решение при $$a=3$$; решений нет при $$a<-3\sqrt2$$ или $$a>3$$.

3) 4 решения при $$a<-4$$ или $$a>4$$; 2 решения при $$a=-4$$ или $$a=4$$; решений нет при $$-4<a<4$$.