Упр.28.148 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) {(x^2+y^2=a, |x|=2); 2) {(x^2+y^2=9, y=a+|x|); 3) {(x^2+y^2=a^2, xy=8).
$$ \begin{cases} x^2+y^2=a,\\ |x|=2 \end{cases} $$
Из условия $$|x|=2$$ получаем $$x^2=4$$. Тогда
$$ 4+y^2=a,\qquad y^2=a-4. $$
Решения существуют только при $$a-4\ge 0$$, то есть при $$a\ge 4$$.
Если $$a>4$$, то уравнение $$y^2=a-4$$ имеет два корня, а так как $$x=\pm 2$$, получаем 4 решения.
Если $$a=4$$, то $$y=0$$, и решений 2.
Если $$a<4$$, решений нет.
$$ \begin{cases} x^2+y^2=9,\\ y=a+|x| \end{cases} $$
Подставим $$y=a+|x|$$ в первое уравнение:
$$ x^2+(a+|x|)^2=9. $$
Обозначим $$t=|x|\ge 0$$. Тогда $$x^2=t^2$$, и получаем
$$ t^2+(a+t)^2=9, $$
$$ 2t^2+2at+(a^2-9)=0. $$
Это квадратное уравнение относительно $$t$$. Для существования решений нужно, чтобы его дискриминант был неотрицателен:
$$ D=(2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-9)=72-4a^2\ge 0. $$
$$ a^2\le 18,\qquad -3\sqrt2\le a\le 3\sqrt2. $$
По графическому анализу числа решений меняются так:
при $$-3\sqrt2<a<-3$$ — 4 решения;
при $$a=-3$$ — 3 решения;
при $$-3\sqrt2=a$$ и $$-3<a<3$$ — 2 решения;
при $$a=3$$ — 1 решение;
при $$a<-3\sqrt2$$ или $$a>3$$ — решений нет.
$$ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ xy=8 \end{cases} $$
Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$ y=\frac{8}{x},\qquad x\ne 0. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ x^2+\left(\frac{8}{x}\right)^2=a^2. $$
Умножим на $$x^2$$:
$$ x^4-a^2x^2+64=0. $$
Положим $$u=x^2$$. Тогда
$$ u^2-a^2u+64=0. $$
Чтобы были действительные решения, дискриминант должен быть неотрицателен:
$$ D=a^4-256\ge 0. $$
$$ (a^2-16)(a^2+16)\ge 0. $$
Так как $$a^2+16>0$$, получаем
$$ a^2-16\ge 0,\qquad |a|\ge 4. $$
При $$|a|>4$$ система имеет 4 решения, при $$|a|=4$$ — 2 решения, при $$|a|<4$$ решений нет.
Ответ
1) 4 решения при $$a>4$$; 2 решения при $$a=4$$; решений нет при $$a<4$$.
2) 4 решения при $$-3\sqrt2<a<-3$$; 3 решения при $$a=-3$$; 2 решения при $$a=-3\sqrt2$$ и $$-3<a<3$$; 1 решение при $$a=3$$; решений нет при $$a<-3\sqrt2$$ или $$a>3$$.
3) 4 решения при $$a<-4$$ или $$a>4$$; 2 решения при $$a=-4$$ или $$a=4$$; решений нет при $$-4<a<4$$.
