Упр.28.145 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Решите систему уравнений:
1) $$\begin{cases}\dfrac{x}{y}\left(x^2-2y^2\right)=4,\\[4pt]\dfrac{y}{x}\left(x^2+2y^2\right)=3;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}x^2+y^2+2(x+y)=23,\\x^2+y^2+xy=19;\end{cases}$$
3) $$\begin{cases}x^4+y^4=17,\\x^2+y^2=5;\end{cases}$$
4) $$\begin{cases}\dfrac{1}{x^2+y^2}+2xy=\dfrac{21}{5},\\[4pt]\dfrac{1}{2xy}+x^2+y^2=\dfrac{21}{4}.\end{cases}$$
$$\begin{cases} \dfrac{x}{y}(x^2-2y^2)=4,\\ \dfrac{y}{x}(x^2+2y^2)=3 \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого, предварительно приведя к общему виду:
$$3x^2(x^2-2y^2)-4y^2(x^2+2y^2)=0$$
$$3x^4-10x^2y^2-8y^4=0$$
Положим $$t=\left(\dfrac{x}{y}\right)^2$$. Тогда
$$3t^2-10t-8=0$$
$$D=100+96=196,\quad t_1=\frac{10-14}{6}=-\frac23,\quad t_2=\frac{10+14}{6}=4$$
Так как $$t=\left(\dfrac{x}{y}\right)^2\ge 0$$, подходит только $$t=4$$, значит $$x^2=4y^2$$, то есть $$x=\pm 2y$$.
Если $$x=2y$$, то
$$\frac{x}{y}(x^2-2y^2)=2(4y^2-2y^2)=4$$
$$4y^2=4,\quad y^2=1$$
Отсюда $$y=\pm 1$$, $$x=\pm 2$$ с тем же знаком.
Если $$x=-2y$$, получаем противоречие.
$$\begin{cases} x^2+y^2+2(x+y)=23,\\ x^2+y^2+xy=19 \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$2x+2y-xy=4$$
$$x(2-y)=4-2y=2(2-y)$$
Если $$y\ne 2$$, то $$x=2$$. Подставим:
$$4+y^2+2(2+y)=23$$
$$y^2+2y-15=0$$
$$(y+5)(y-3)=0$$
$$y=-5 \text{ или } y=3$$
Получаем пары $$(2,-5)$$ и $$(2,3)$$.
Если $$y=2$$, то из первого уравнения:
$$x^2+4+2(x+2)=23$$
$$x^2+2x-15=0$$
$$(x+5)(x-3)=0$$
$$x=-5 \text{ или } x=3$$
Получаем пары $$(-5,2)$$ и $$(3,2)$$.
$$\begin{cases} x^4+y^4=17,\\ x^2+y^2=5 \end{cases}$$
Используем формулу:
$$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$$
Тогда
$$25-2x^2y^2=17$$
$$x^2y^2=4$$
$$|xy|=2$$
Решаем систему
$$\begin{cases} x^2+y^2=5,\\ xy=\pm 2 \end{cases}$$
При $$xy=2$$:
$$(x+y)^2=9,\quad x+y=\pm 3$$
Получаем $$x=1,\ y=2$$ или $$x=2,\ y=1$$, а также пары с отрицательными значениями.
При $$xy=-2$$ аналогично получаем $$(-1,2),\ (1,-2),\ (-2,1),\ (2,-1)$$ и соответствующие перестановки.
$$\begin{cases} \dfrac{1}{x^2+y^2}+2xy=\dfrac{21}{5},\\ \dfrac{1}{2xy}+x^2+y^2=\dfrac{21}{4} \end{cases}$$
Обозначим $$u=x^2+y^2$$, $$v=2xy$$. Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} \dfrac{1}{u}+v=\dfrac{21}{5},\\ \dfrac{1}{v}+u=\dfrac{21}{4} \end{cases}$$
Из первого уравнения
$$v=\frac{21}{5}-\frac{1}{u}=\frac{21u-5}{5u}$$
Подставим во второе:
$$\frac{5u}{21u-5}+u=\frac{21}{4}$$
$$20u+4u(21u-5)=21(21u-5)$$
$$84u^2-441u+105=0$$
$$4u^2-21u+5=0$$
$$(4u-1)(u-5)=0$$
$$u=\frac14 \text{ или } u=5$$
При $$u=\frac14$$ получаем $$v=\frac15$$, то есть
$$x^2+y^2=\frac14,\quad 2xy=\frac15$$
Тогда
$$(x+y)^2=\frac14+\frac15=\frac{9}{20},\quad (x-y)^2=\frac14-\frac15=\frac1{20}$$
Отсюда
$$x=\pm \frac{\sqrt5}{10},\quad y=\pm \frac{\sqrt5}{5}$$
При $$u=5$$ получаем $$v=4$$, то есть
$$x^2+y^2=5,\quad 2xy=4$$
Следовательно, $$xy=2$$, и решения:
$$(1,2),\ (2,1),\ (-1,-2),\ (-2,-1)$$
Ответ
1) $$( -2,-1),\ (2,1)$$;
2) $$(-5,2),\ (3,2),\ (2,-5),\ (2,3)$$;
3) $$(-2,-1),\ (-2,1),\ (-1,-2),\ (-1,2),\ (1,-2),\ (1,2),\ (2,-1),\ (2,1)$$;
4) $$\left(-\dfrac{\sqrt5}{10},-\dfrac{\sqrt5}{5}\right),\ \left(-\dfrac{\sqrt5}{5},-\dfrac{\sqrt5}{10}\right),\ \left(\dfrac{\sqrt5}{10},\dfrac{\sqrt5}{5}\right),\ \left(\dfrac{\sqrt5}{5},\dfrac{\sqrt5}{10}\right),\ (-2,-1),\ (-1,-2),\ (1,2),\ (2,1)$$.
