Упр.28.144 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) {(x+y+xy=4, xy(x+y)=-21);
2) {(x/y-y/x=15/4, 2x-3y=10);
3) {((3x+y)/(x-y)-3(x-y)/(3x+y)=-2, x^2+xy-y^2=-20).

Подробный ответ

Обозначим $$s=x+y,\quad p=xy.$$ Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} s+p=4,\\ ps=-21. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$s=4-p$$. Подставим во второе:
$$ p(4-p)=-21 $$
$$ p^2-4p-21=0 $$
$$ (p-7)(p+3)=0 $$
Отсюда $$p=7$$ или $$p=-3$$.
1) Если $$xy=7,$$ то $$x+y=4-7=-3.$$ Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$ t^2+3t+7=0. $$
$$ D=3^2-4\cdot 7=9-28=-19<0, $$
значит, действительных решений нет.
2) Если $$xy=-3,$$ то $$x+y=4-(-3)=7.$$ Тогда
$$ t^2-7t-3=0. $$
$$ D=7^2+4\cdot 3=49+12=61, $$
$$ t=\frac{7\pm \sqrt{61}}{2}. $$
Следовательно,
$$ (x,y)=\left(\frac{7-\sqrt{61}}{2},\frac{7+\sqrt{61}}{2}\right),\ \left(\frac{7+\sqrt{61}}{2},\frac{7-\sqrt{61}}{2}\right). $$
Положим $$u=\frac{x}{y}.$$ Тогда первое уравнение системы:
$$ u-\frac{1}{u}=\frac{15}{4} $$
Умножим на $$u$$:
$$ 4u^2-15u-4=0. $$
$$ D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=225+64=289, $$
$$ u=\frac{15\pm 17}{8}. $$
Отсюда $$u_1=4,$$ $$u_2=-\frac14.$$
1) Если $$\frac{x}{y}=4,$$ то $$x=4y.$$ Подставим во второе уравнение:
$$ 2x-3y=10 $$
$$ 8y-3y=10 $$
$$ 5y=10,\quad y=2,\quad x=8. $$
2) Если $$\frac{x}{y}=-\frac14,$$ то $$x=-\frac{y}{4}.$$ Тогда
$$ 2\left(-\frac{y}{4}\right)-3y=10 $$
$$ -\frac{1}{2}y-3y=10 $$
$$ -\frac{7}{2}y=10,\quad y=-\frac{20}{7},\quad x=\frac{5}{7}. $$
Получаем два решения.
Обозначим
$$ u=\frac{3x+y}{x-y}. $$
Тогда первое уравнение:
$$ u-\frac{3}{u}=-2 $$
$$ u^2+2u-3=0 $$
$$ (u+3)(u-1)=0. $$
Значит, $$u=-3$$ или $$u=1.$$
1) Если $$\frac{3x+y}{x-y}=-3,$$ то
$$ 3x+y=-3(x-y) $$
$$ 3x+y=-3x+3y $$
$$ 6x=2y,\quad y=3x. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ x^2+xy-y^2=-20 $$
$$ x^2+3x^2-9x^2=-20 $$
$$ -5x^2=-20,\quad x^2=4. $$
$$ x=\pm 2,\quad y=\pm 6. $$
2) Если $$\frac{3x+y}{x-y}=1,$$ то
$$ 3x+y=x-y $$
$$ 2x+2y=0,\quad y=-x. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ x^2+x(-x)-(-x)^2=-20 $$
$$ -x^2=-20,\quad x^2=20. $$
$$ x=\pm 2\sqrt{5},\quad y=\mp 2\sqrt{5}. $$