Упр.28.143 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}2x^2-2xy+2y^2-3x+2y-2=0,\\x^2-xy+y^2-x-y=0;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}5x^2-3y^2+10x-12y=17,\\2x^2+y^2+4x+4y=-2.\end{cases}$$

1. Решим первую систему:

   $$\begin{cases} 2x^2-2xy+2y^2-3x+2y-2=0,\\ x^2-xy+y^2-x-y=0. \end{cases}$$

   Вычтем из первого уравнения второе, умноженное на $$2$$:

   $$x^2-xy+y^2-2x+3y-2=0.$$

   Теперь вычтем из этого уравнения второе:

   $$-x+4y-2=0,$$
   $$x=4y-2.$$

   Подставим в второе уравнение:

   $$(4y-2)^2-y(4y-2)+y^2-(4y-2)-y=0,$$
   $$16y^2-16y+4-4y^2+2y+y^2-4y+2-y=0,$$
   $$13y^2-19y+6=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=19^2-4\cdot 13\cdot 6=361-312=49,$$
   $$y_{1,2}=\frac{19\pm 7}{26}.$$

   $$y_1=\frac{13}{13}=1,\qquad y_2=\frac{6}{13}.$$

   Тогда

   $$x_1=4\cdot 1-2=2,\qquad x_2=4\cdot \frac{6}{13}-2=\frac{24}{13}-\frac{26}{13}=-\frac{2}{13}.$$

   Получаем решения:

   $$(2;1),\ \left(-\frac{2}{13};\frac{6}{13}\right).$$

2. Решим вторую систему:

   $$\begin{cases} 5x^2-3y^2+10x-12y=17,\\ 2x^2+y^2+4x+4y=-2. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$7x^2-2y^2+14x-8y=15.$$

   Снова прибавим второе уравнение:

   $$9x^2-y^2+18x-4y=13.$$

   Ещё раз прибавим второе уравнение:

   $$11x^2+22x=11,$$
   $$x^2+2x-1=0.$$

   Тогда

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-1)=8,$$
   $$x=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}=-1\pm \sqrt{2}.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$2(-1\pm \sqrt{2})^2+y^2+4(-1\pm \sqrt{2})+4y=-2.$$

   После упрощения получаем:

   $$y^2+4y+4=0,$$
   $$(y+2)^2=0,$$
   $$y=-2.$$

   Следовательно, решения:

   $$(-1-\sqrt{2};-2),\ (-1+\sqrt{2};-2).$$

Ответ

1) $$(2;1),\ \left(-\frac{2}{13};\frac{6}{13}\right).$$

2) $$(-1-\sqrt{2};-2),\ (-1+\sqrt{2};-2).$$