Упр.28.140 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ система уравнений:
   1) $$\begin{cases}4x+7y=5,\\4x+7y=a\end{cases}$$ не имеет решений;
   2) $$\begin{cases}5x+ay=6,\\20x-16y=24\end{cases}$$ имеет бесконечно много решений;
   3) $$\begin{cases}ax+2y=8,\\7x-4y=-18\end{cases}$$ имеет единственное решение?

1. Система

   $$\begin{cases} 4x+7y=5,\\ 4x+7y=a \end{cases}$$

   не имеет решений тогда и только тогда, когда левая часть одинакова, а правые части различны. Значит,

   $$a\ne 5.$$

2. Для бесконечно многих решений уравнения системы должны быть пропорциональны:

   $$\begin{cases} 5x+ay=6,\\ 20x-16y=24 \end{cases}$$

   Сравним коэффициенты:

   $$\frac{5}{20}=\frac{a}{-16}=\frac{6}{24}.$$

   Так как

   $$\frac{5}{20}=\frac{6}{24}=\frac14,$$

   то

   $$\frac{a}{-16}=\frac14,\qquad a=-4.$$

3. Система

   $$\begin{cases} ax+2y=8,\\ 7x-4y=-18 \end{cases}$$

   имеет единственное решение, если определитель системы не равен нулю:

   $$\Delta= \begin{vmatrix} a & 2\\ 7 & -4 \end{vmatrix} =-4a-14\ne 0.$$

   Отсюда

   $$-4a-14\ne 0,\qquad a\ne -\frac72.$$

Ответ

1) $$(-\infty;5)\cup(5;+\infty)$$; 2) $$\{-4\}$$; 3) $$(-\infty;-\frac72)\cup\left(-\frac72;+\infty\right)$$.