Упр.28.140 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {(4x+7y=5, 4x+7y=a) не имеет решений;
2) {(5x+ay=6, 20x-16y=24) имеет бесконечно много решений;
3) {(ax+2y=8, 7x-4y=-18) имеет единственное решение?

1. Система

   $$ \begin{cases} 4x+7y=5,\\ 4x+7y=a \end{cases} $$

   не имеет решений тогда и только тогда, когда левая часть одинакова, а правые части различны. Значит,

   $$a\ne 5.$$

2. Для бесконечно многих решений уравнения системы должны быть пропорциональны:

   $$ \begin{cases} 5x+ay=6,\\ 20x-16y=24 \end{cases} $$

   Сравним коэффициенты:

   $$ \frac{5}{20}=\frac{a}{-16}=\frac{6}{24}. $$

   Так как

   $$ \frac{5}{20}=\frac{6}{24}=\frac14, $$

   то

   $$ \frac{a}{-16}=\frac14,\qquad a=-4. $$

3. Система

   $$ \begin{cases} ax+2y=8,\\ 7x-4y=-18 \end{cases} $$

   имеет единственное решение, если определитель системы не равен нулю:

   $$ \Delta= \begin{vmatrix} a & 2\\ 7 & -4 \end{vmatrix} =-4a-14\ne 0. $$

   Отсюда

   $$ -4a-14\ne 0,\qquad a\ne -\frac72. $$

Ответ

1) $$(-\infty;5)\cup(5;+\infty)$$; 2) $$\{-4\}$$; 3) $$(-\infty;-\frac72)\cup\left(-\frac72;+\infty\right)$$.