Упр.28.138 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 больше соответствующих корней уравнения $$x^2+7x-4=0$$.

Пусть корни данного уравнения $$x^2+7x-4=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-7, \qquad x_1x_2=-4.$$

По условию новые корни на 2 больше соответствующих старых, то есть

$$y_1=x_1+2, \qquad y_2=x_2+2.$$

Найдём их сумму и произведение:

$$y_1+y_2=(x_1+2)+(x_2+2)=x_1+x_2+4=-7+4=-3,$$

$$y_1y_2=(x_1+2)(x_2+2)=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=-4+2\cdot(-7)+4=-14.$$

Следовательно, искомое квадратное уравнение имеет вид

$$x^2-(y_1+y_2)x+y_1y_2=0,$$

то есть

$$x^2+3x-14=0.$$

Ответ

$$x^2+3x-14=0.$$