Упр.28.137 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Известно, что $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-8x+5=0$$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1. $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$$;
2. $$(x_1)^2+(x_2)^2$$;
3. $$(x_1-x_2)^2$$;
4. $$(x_1)^3+(x_2)^3$$.

По теореме Виета для уравнения $$x^2-8x+5=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=8,\qquad x_1x_2=5.$$

1. $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{8}{5}=1{,}6.$$

2. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=8^2-2\cdot 5=64-10=54.$$

3. $$\left(x_1-x_2\right)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=8^2-4\cdot 5=64-20=44.$$

4. $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)$$

   $$=(x_1+x_2)\left((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\right)=8(8^2-3\cdot 5)=8(64-15)=392.$$

Ответ

1) $$1{,}6$$; 2) $$54$$; 3) $$44$$; 4) $$392$$.