Упр.28.136 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Корни $$x_1$$ и $$x_2$$ уравнения $$x^2-5x+m=0$$ удовлетворяют условию $$2x_1-3x_2=20$$. Найдите корни уравнения и значение $$m$$.

По теореме Виета для уравнения $$x^2-5x+m=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=5, \qquad x_1x_2=m.$$

Из условия:

$$2x_1-3x_2=20.$$

Выразим $$x_1$$:

$$2x_1=20+3x_2,$$

$$x_1=10+\frac{3}{2}x_2.$$

Подставим в сумму корней:

$$10+\frac{3}{2}x_2+x_2=5,$$

$$10+\frac{5}{2}x_2=5,$$

$$\frac{5}{2}x_2=-5,$$

$$x_2=-2.$$

Тогда

$$x_1=5-(-2)=7.$$

Найдём $$m$$:

$$m=x_1x_2=7\cdot(-2)=-14.$$

Ответ

$$x_1=7,\quad x_2=-2,\quad m=-14.$$