Упр.28.119 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Попарно разные числа a, b и c таковы, что $$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}.$$ Докажите, что $$|abc|=1.$$

Из условия имеем:

$$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}.$$

Тогда разности соседних равных выражений равны:

$$a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}=\frac{b-c}{bc},$$

$$b-c=\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=\frac{c-a}{ac},$$

$$c-a=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab}.$$

Перемножим эти равенства:

$$(a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{(abc)^2}.$$

Так как числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ попарно различны, то

$$(a-b)(b-c)(c-a)\neq 0.$$

Сократим на $$(a-b)(b-c)(c-a)$$:

$$1=\frac{1}{(abc)^2}.$$

Следовательно,

$$(abc)^2=1,$$

откуда

$$|abc|=1.$$

Ответ

$$|abc|=1.$$